“Euclide ha creato la sua geometria proprio in un luogo dove la sua geometria non è applicabile!”.
La superficie della Terra non è un piano, ma una superficie sferica, dove NON VALE la geometria euclidea. Altrettanto possiamo dire della sfera celeste. E’ interessante e utile quindi avere coscienza e dimestichezza con una geometria diversa, in grado di disegnare ed eseguire calcoli fondamentali sia per viaggiare sul nostro pianeta sia per utilizzare al meglio la volta celeste.
Dobbiamo ricordare che l’uomo ha per molti secoli viaggiato solo su territori piccoli rispetto all’intero globo e poteva benissimo ridurre tutte le sue misure su un piano euclideo. E’ un po’ come se avesse potuto confondere un segmento con un arco di cerchio.
Ma nel corso dei secoli e con la conoscenza delle dimensioni e proporzioni dello spazio terrestre esplorabile, lo studio della sfera è diventato quanto mai attuale in parallelo alla geometria del piano.
Studiare oggi la geometria della sfera alla scuola primaria può essere un buon mezzo per osservare e sperimentare le definizioni apprese nel piano, metterle in gioco sulla sfera, per poi tornare al piano con maggiore chiarezza rispetto alle definizioni imparate.
Avventurandoci nello studio della sfera scopriremo che alcune cose rimarranno identiche, come i punti, ma altre, come le rette e i triangoli, quando parliamo di sfera, cambieranno le loro regole.
Per accorgerci del limite di alcune delle più comuni definizione euclidee sul piano e scoprire come tante cose che sembrano certe, in realtà siano relative allo sfondo nelle quali le collochiamo, proviamo a ricordare qualcuna di queste note definizioni:
“due rette parallele non si incontrano mai”:
bene, sulla superficie terrestre questo non è più vero, dato che le “sue” rette sono obbligate a incontrarsi.
Riprendiamo anche altre definizioni di retta del mondo piano a due dimensioni:
"La retta è una linea che non cambia mai direzione“. Ma sulla sfera tutto cambia
Per vederlo in modo immediato e pratico consideriamo la figura qui sotto, dove è rappresentato un carrello a due ruote.
Vedrete che le ruote interne del carrellino percorrono una strada minore rispetto a quelle esterne e che la retta sulla sfera....CAMBIA DIREZIONE.
La retta sul piano è illimitata ma la retta sulla sfera (CIRCONFERENZA MASSIMA) è limitata
Si possono tracciare segmenti sia sul piano sia sulla sfera ma con delle curiose particolarità:
Prendiamo due punti A e B su una retta. La distanza minima è il segmento rettilineo AB. Qualsiasi altra linea che congiunga A e B è sicuramente più lunga della distanza minima. Insomma, per seguire il percorso minimo dobbiamo muoverci su una retta. Una linea di questo tipo viene chiamata geodetica, ossia la traiettoria più corta che unisce due punti.
Però se osservate questa figura....scoprirete che
più la circonferenza che passa per A e B rimpicciolisce (raggio minore), maggiore diventa la distanza da percorrere per andare da A e B. In altre parole, una distanza maggiore è legata a un raggio minore.
Risulta ovvio che la distanza minima corrisponde alla circonferenza che ha il raggio più grande.
Le semirette si possono tracciare sul piano ma non sulla sfera per evidenti motivi
E infine se parliamo di triangoli e angoli osserviamo che la somma degli angoli di un triangolo è sempre maggiore di 180°. Nella fotografia seguente vedete un triangolo sferico la cui somma angolare è di circa 242°.
